martes, 19 de enero de 2010

Matematica Vedica

Introducción:
Recuerdo el momento en que mi padre me apartó y me dijo, “Hijo, tu puedes explicar todo con matemáticas.” El era un racionalista, y para él Dios existía únicamente en los sentimientos de los no educados. En ese entonces yo le creí y pienso que su consejo tuvo mucho que ver para persuadirme en la decisión de estudiar Física. En algún lugar a lo largo del camino, sin embargo, en 1969, algo sucedio (algo que mucha gente todavía esta tratando de explicárselo) lo cual me arrastró lejos del espíritu de ese paternal consejo y sudsecuentemente de mi prometedora carrera .

La Matemática y la dimensión espiritual

Desafortunadamente, pienso que fuí muy lejos al otro lado. Tiré la razón al viento, por asi decirlo, e informalmente llegue a ser una autoordenada "persona espiritual." La ciencia, la fundamentación de lo que es la matemática, tal y como lo ví, nada tenía para ofrecer. Únicamente, años después, cuando la nuve de mi sentimentalismo fue disipada por el sol de la integridad de mi alma, fue que estube dispuesto a separarme a mi mismo de uno de los tantos desengaños: el primero el consejo de mi padre, y el segundo la idea de que tanto como quisiera podría entrar, a un mas profundo entendimiento de la naturaleza de la realidad.

La matemática no puede tomar el misterio fuera de la vida sin abolir la vida misma, por eso es el misterio de la vida, su imprecibilidad (el hecho de que sea dinámica, no estática) que la hace viva y una fortuna vivirla. Podemos teóricamente desechar a Dios, pero al hacerlo únicamente escogemos engañarnos a nosotros mismos; I=todo es simplemente mala aritmética.

Sin embargo, antes de poder conectarnos con nuestro corazón de corazones, nuestra verdadera esencia espiritual, no podemos desechar la razón. Con la ayuda de la facultad del entendimiento podemos conocer por lo menos que no es trascendencia. Retractando nuestro corazón de eso es un buen comienzo para una vida espiritual.

La matemática recientemente, únicamente ha alcanzado a intentar usurpar el trono de Dios. Irónicamente, vino originalmente a usarse en la sociedad humana dentro del contexto de la búsqueda espiritual. Espiritualmente culturas avanzadas no fueron ignorantes de los principios de la matemáticas, pero vieron innecesario explorar esos principios mas alla de aquello que era útil en el avance hacia la realización de Dios. Intoxicado por el burdo poder inherente en los principios matematicos, posteriores civilizaciones, sucumbieron a todas las tentadoreas armas de ilusión, utilizando estos principios y ademas explorandolos en un intento por conquistar la naturaleza. El disparate en esto, como se demuestra en la sociedad moderna hoy, apunta al hecho de que la "sabiduría" es mas que un ejercicio de inteligencia. El moderno culto del hombre a la inteligencia lo siega a lo obvio: la superioridad del amor sobre la razón.

Arquimides y Pitágoras

Una creencia común entre las culturas ancestrales era que las leyes de los números no tienen únicamente un significado práctico, trambien tienen un significado místico y religioso. Esta creencia estuvo prevalente entre los pitagóricos. Con anterioridad al 500 ((A)ntes de la (E)ra (C)ristiana=AC), Pitágoras el gran griego pionero en la enseñanza de la matemáticas, formó un exclusivo club de hombres jóvenes a los cuales el impartió su conocimiento matemático superior. Cada miembro fue abligado a tomar el juramento de no revelar este conocimiento a alguien fuera del círculo. Pitágoras adquirió muchos discípulos fieles a quienes el predicó acerca de la inmortalidad del alma e insistió en una vida de renunciación. En el corazón de su mundo pitagórico yacía una unidad de principios religiosos y proposiciones matemáticas.

En el siglo tercero antes de la era cristiana, otro gran matemático griego, Arquímedes, contribuyó considerablemente al campo de la matemática. Una cita atribuida a Arquimedes dice "Existen cosas las cuales se muestran increibles a la mayoría de hombres que no han estudiado matemáticas". Inclusive de acuerdo a Plutarco, Arquímedes consideró "innoble y forma inferior de labor, el trabajo mecánico y todo arte interesado en las necesidades de la vida, y por lo tanto ejerció sus mejores esfuerzos únicamente en la búsqueda del conocimiento en las cosas donde lo bello y lo bueno no estuvieran mezcladas con la necesidad." Al igual que Platón, Arquimedes despreció las matemáticas prácticas, aunque se halla vuelto muy experto en ellas.

El ábaco: un dispositivo de conteo mecánico.

Los griegos, sinembargo, encontraron un mayor problema. El alfabeto griego, el cual ha probado ser muy útil en muchas maneras, mostró ser un gran impedimento en el arte del cálculo. Aunque los astrónomos y astrólogos griegos usaron una notación sexagesimal (360 grados) y un cero, las ventajas de este lenguaje no fueron apreciadas enteramente y no se extendieron mas allá de sus cálculos. Los egipcios no tuvieron dificultad en representar grandes números, pero la falta de lugares de valor (unidades, decenas , centenas, etc) para sus símbolos complicó su sistema de tal forma que, por ejemplo, 23 siímbolos eran necesarios para representar el numero 986. Incluso los romanos, quienes sucedieron a los griegos como maestros del mundo mediterráneo, y quienes son conocidos como una nación de conquistadores, no pudieron calcular el arte del cálculo. Este fue un que hacer dejado a un ábaco que trabajo como esclavo. No hubo un progreso real en el arte del cálculo y la ciencia hasta que la ayuda llegó de oriente.

Shulba Sutra

En el valle del rio Indus en India, las civilizaciones mas viejas del mundo han desarrollado su propio sistema de matemáticas. Los Sutras védicos de Shulba (entre los siglos 5 y 8 A.C.) que significan "códigos de la cuerda," muestran que las investigaciones tempranas en geometría y matemáticas entre los indios surgieron de ciertos requerimientos de sus rituales religiosos. Cuando la visión poética de los videntes védicos fue materializada en símbolos, los rituales requirieron altares y mediciones precisas, proporcionando un medio para el logro del inmanifiesto mundo de la consciencia. Los "Sutras de Shulba" es el nombre dado a esas partes o suplementos del Kalpasutras, los cuales eran para la medición y construcción de los diferentes altares o plazas de los ritos religiosos. La palabra shulba se refiere a las cuerdas usadas para hacer estas mediciones.

La matemática no puede tomar el misterio fuera de la vida sin abolir la vida misma, por eso es el misterio de la vida, su imprecibilidad (el hecho de que sea dinámica, no estática) que la hace viva y una fortuna vivirla.

Aunque los matemáticos védicos son conocidos primeramente por sus dones computacionales en aritmética y álgebra, la base e inspiración para toda la matemática india es la geometría. Evidencias de instrumentos de dibujo tan tempranos como el 2500 A.C. han sido encontrados en los valles indios. [1] Los comienzos del álgebra puede ser localizado en la geometría de construcción de los sacerdotes védicos, lo cual esta preservado en los Sutras de Shulba. Mediciones exactas, orientaciones y diferentes formas geométricas para los altares y plazas usados religiosamente (yajnas), los cuales ocupan una parte importante de la cultura religiosa védica, son descritos en los ShulbaSutras. Muchos de esos cálculos usan la fórmula geométrica conocida como el teorema de pitágoras.

Este teorema (540A.C.) que compara el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo recto con la suma de los cuadrados de los stros dos lados, fue utilizado en los primeros Shulba Sutras (el Baydhayana) con anterioridad al siglo octavo A.C. Así, el extendido uso de este famoso teorema matemático en India muchos siglos antes de ser popularizado por Pitágoras, está documentado. La formulación exacta de este teorema tal y como se presenta en el Shulba Sutra es: "La cuerda diagonal del rectángulo hace el cuadrado tanto como los lados vertical y horizontal lo hacen." [2] La prueba de este fundamental e importante teorema es bien conocida desde los tiempos de Euclides hasta el presente por su excesivamente tediosa y voluminosa naturaleza; sinembargo los Vedas presentan cinco diferentes pruevas muy simples de este teorema. Un historiador, Needham, ha indicado que la "futura investigación en la historia de la ciencia y la tecnología en Asia revelará, de hecho, que los logros de estas personas contribuyen de lejos mas que todo lo que ha sido realizado en todos los periodos del pre-Renacimiento, al desarrollo del mundo de la ciencia." [3]

los Shulba Sutras han preservado únicamente la parte de la matemática védica que ha sido utilizada para la construcción de altares y para computar el calendario y asi regular la ejecución de los rituales religiosos. Después del periodo del Shulba sutra, los desarrollos principales en la matemática védica fueron alcanzados por las necesidades en el campo de la astronomía. El Jyotisha, ciencia de las lumbreras (luces de los cielos), utiliza todas las ramas de la matemáticas.

La necesidad de determinar el tiempo apropiado para sus rituales religiosos dió el primer impulso para las observaciones astronómicas. con este deseo en mente, los sacerdotes pasarian noche tras noche observando el avance de la luna através del círculo de nakshatras (casas de la luna), y dia tras dia el progreso alterno del sol hacia el norte y hacia el sur. Siembargo, los sacerdotes estaban interesados en las reglas matemáticas únicamente, tanto como ellas fueran de uso práctico. Esas verdades fueron por lo tanto expresadas de las manera mas simple y práctica. Pruebas elaboradas no fueron presentadas, ni fueron deseadas.

Evolución de los números arabigos (romanos) desde India

Una reciente investigación del sistema védico de matemáticas muestra que fue mucho mas avanzado que los sistemas matemáticos de las civilizaciones del Nilo o el Eufrates. La matemática védica ha desarrollado el sistema decimal de decenas, centenas, miles, etc. donde el residuo de una columna de números es transferido a la siguiente. La ventaja de este sistema de nueve simbolos numéricos y el cero es que conduce a cálculos fáciles de realizar. además, se ha dicho que la introducción del cero, o "sunya" como los indios lo llamaron, en un sentido operacional como una parte definitiva de un sistema numérico, marca uno de los mas importantes desarrollos en toda la historia de la matemáticas. Los primeros ejemplos preservados del sistema numérico que esta actualmente en uso, son encontrados en muchas columnas de piedra levantadas en India por el Rey Ashoka cerca del 250 A.C.[4] Inscripciones similares son encontradas en cuevas cerca a Poona (100 A.C.) y Nasik (200 D.C.)[5] Esos primeros numerales indios aparecen en una escritura llamada brahmi .

Después del 700 D.C. otra notación bajo el nombre de "Numerales indios", los cuales se dice que evolucionaron de los numerales brahmi , supuso uso común, extendiendose a Arabia y desde allí a todo el mundo. Los números arábigos (el nombre con el que llegaron a ser conocidos) llegaron a ser de uso común en todo el imperio árabe, el cual se extendía desde India hasta España, los europeos los llamaron "notación arábiga," porque ellos los recibieron de los árabes. Sinembargo, los mismos árabes los llaman "figuras indias" (Al-Arqan-Al-Hindu) y la matemática misma fue llamada "el arte indio" (hindisat).

Evolución de los "números arábigos" desde el brahmi

(250 A.C.) hasta el siglo 16

El dominio de esta nueva amtemática llevó a los matemáticos musulmanes de Baghdad a utilizar enteramente los tratados geométricos de Euclides y Arquímedes. La trigonometría floreció allí junto con la astronomía y geografía. Después en la historia, Carl Friederich Gauss , el "principe de la matemática," dijo haber lamentado que Arquimedes en el siglo tercero A.C. halla fallado en prever el sistema de numeración indio; que tanto mas pudo la ciencia haber estado avanzada.

Anterior a estos descubrimientos revolucionarios, otras civilizaciones del mundo -los egipcios, los babilonios, los romanos y los chinos- todos usaron símbolos independientes para cada columna de las cuentas del ábaco, cada una requirió sus propias tablas de multiplicación y adición. tan engorrosos fueron esos sistemas que la matemática estaba virtualmente paralizada. el nuevo sistema de los valles indios permitió una revolución en la matemática dejándola libre. Desde el 500 D.C. matemáticos de India han resuelto problemas que han desconcertado los mas grandes eruditos del mundo de todo tiempo. Aryabhatta , un matemático astrónomo que floreció en el comienzo del siglo sexto, introdujo senos y arcosenos -una gran mejora sobre los cordones medios de Ptolomeo. A. L. Basham , la mas destacada autoridad de la India ancestral escribió en La Maravilla Que Fue India ,

"Matemáticos de la India medieval, tal como Brahmagupta (siglo séptimo), Mahavira (siglo noveno) and Bhaskara (siglo doce), hicieron varios descubrimientos que en Europa no fueron conocidos hasta el renacimiento o después. Ellos entendieron la importancia de las cantidades positivas y negativas, desarrollaron sistemas de sonidos para extraer raices cuadradas y cúbicas, y pudieron resolver ecuaciones cuadráticas y cierto tipo de ecuaciones indeterminadas." [6] La contribución mas sobresaliente de Mahavira es su tratamiento de las fracciones por primera vez y su regla para dividir una fracción por otra, lo cual no aparece en Europa hasta el siglo 16.

Ecuaciones y símbolos

B.B. Dutta escribe: "El uso de letras del alfabeto como símbolos para denotar incognitas y ecuaciones son los fundamentos de la ciencia del algebra. Los Hinduos fueron los primeros en hacer sistemático uso de las letras del alfabeto para denotar incognitas. Ellos fueron tambien los primeros en clasificar y hacer un estudio detallado de las ecuaciones. Asi se puede decir que ellos le dieron nacimiento a la moderna ciencia del algebra." [7] El gran matemático indio Bhaskaracharya (1150 D.C.) produjo muchos tratados tanto en trigonometría esférica como plana y algebra, y sus trabajos contienen extraordinarias soluciones de problemas los cuales no fueron descubiertos en Europa hasta los siglos diesisiete y diesiocho. El precedio a Newton por 500 años en el descubrimiento de los principios del cálculo diferencial. A.L. Basham escribió ademas, "Las implicaciones matemáticas del cero (sunya) y el infinito , no fueron mas que vagamente realizadas por los expertos clásicos, y fueron ampliamente entendidas en la India madieval. Los primeros matemáticos han enseñado que X/0=0, pero Bhaskara provó lo contrario. El tambien estableció matemáticamente que han sido reconocidos en la teología india por lo menos un milenio antes: que el infinito, aún por algo dividido, permanece infiontio, representado por la ecuación 00/X=00." En el siglo 14, Madhava , solitario en el sur de India desarrolló una serie de potencias para la función arco tangente, aparentemente sin el uso del cálculo permitiendo el cálculo de pi con varios decimales (ya que arctan 1 = pi/4). si el llevo a cabo esto inventando un sistema tan bueno como el cálculo o sin ayuda del cálculo, de todas maneras es asombroso.

Culturas avanzadas espiritualmente no fueron ignorantes de los principios de la matemática, pero vieron innecesario explorar esos principios más alla de lo que fuera útil en el avance de la realización de Dios.

Para el siglo 15 D. C. el uso de los nuevos conceptos matemáticos de India se han difundido para toda Europa: Inglaterra, Francia, Alemania e Italia entre otros. A. L. Basham establece también que

La deuda del mundo occidental a la India en este respecto (el campo de la matemátuica) no puede ser sobrestimado. Muchos de los grandes descubrimientos e invenciones de los cuales esta Europa muy orgullosa hubiesen sido imposibles sin un sistema desarrollado de matemáticas, y esto en turno hubiese sido imposible si Europa estuviera encerrada por el poco manejeble sistema numérico romano. El hombre desconocido quien divisó el nuevo sistema fue, desde el punto de vista del mundo, después de Buda, el más importante hijo de India. Su logro, aunque fácilmente tomado por cedido, fue el trabjop de una mente analítica de primer orden, y el merece mucho más honor del que le fue otorgado.

Desafortunadamente, el eurocentrismo ha efectivamente ocultado del hombre común el hecho que debemos más en el camino de la matemática a la India ancestral. Reflexioones sobre esto puede causar a los hombres modernos que consideren más seriamente la preocupación espiritual de la India ancestral. Los Rishis (videntes) no fueron hombres carentes del conocimiento práctico del mundo, morando únicamente en la realidad de la imaginación. Ellos estaban desarrollados en el conocimiento secular, aunque únicamente en el grado que lo sintieron fue necesario una mirada del mundo en donde la conciencia fuera tomada como primaria.

En la India ancestral, los matemáticos sirvieron como un puente entre el entendimiento de la realidad material y la concepción espiritual. La matamática védica difiere profundamente de la matamática griega en que el conocimiento por su propio bien (por su satisfacción estetica) no le interesa a la mente india. La matemática de los vedas carece de la agudeza, claridad y precisión geométrica occidental; en vez de esto, esta sumida en el lenguaje poético el cual es el distintivo del Este. La matemática védica sentía fuertemente que toda disciplina debe tener un propósito y creía que la meta final de la vida era para alcanzar la autorealización y amor por Dios y de ese modo se liberaba del ciclo de nacimiento y muerte. Estas prácticas las cuales promovieron este fin, ni directa ni indirectamente fueron practicadas más rigurosamente. Fuera de la esfera religioastronómica, únicamente los problemas del vivir diario (tales como comprar y cambiar) intereso a los matematicos indios.

La poesía en la matemática

Uno de los mas excelsos exponentes de la matemática védica, el último Bharati Krishna Tirtha Maharaja , autor de Matemática Védica , a ofrecido un vislumbre en la sofisticación de la metemática védica. Sacando del Atharva-veda , Tirtha Maharaja señaló muchos sutras (codigos) o aforismos los cuales perecen aplicarse a muchas ramas de la matemáticas: aritmética, álgebra, geometría (plana y sólidos), trigonometría (plana y esférica), conicas (geométricas y analíticas), astronomía, cálculo (diferencial e integral ), etc.

Utilizando las técnicas derivadas de esos sutras, los cálculos pueden ser hechos con increible facilidad y simplicidad en la cabeza de uno en una fracción de tiempo igual a la requerida por los medios modernos. Los cálculos que requieren cientos de pasos pueden ser hechos por el método védico en un simple paso. Por el momento la conversión de la fracción 1/129 a su notación equivalente decimal normalmente requiere de 28 pasos, utilizando el método védico puede ser calculada en un solo paso. (Vea la siguiente sección para ejemplos de cómo utilizar los sutras védicos.)

Para ilustrar como la vida secular y espiritual estaban entrelazadas en la india védica, Tirtha Maharaja ha demostrado que las formulas matemáticas y leyes estaban a menudo enseñadas en el contexto de expresiones espirituales (mantras). Así, mientras se aprende lecciones espirituales, uno podría tambien aprender lecciones matemáticas.

Tirtha Maharaja ha señalado que los matemáticos védicos prefieren usar las letras devanagaris del sanscrito para representar los diferentes números en su notación numérica en ves de los números mismos, especialmente donde intervienen números grandes. Esto lo hace mas fácil para los estudiantes de esta matematica, para recordar los argumentos y las conclusiones apropiadas.

Tirtha Maharaja indica, "para ayudar a un pupilo a memorizar el material estudiado y asimilado, hacen como una regla general de práctica, escribir aun los mas técnicos y abstrusos textos en sutras o en versos (lo cual es mucho mas fácil-incluso para los niños- para memorizar). Y este es el porque no encontramos únicamente tratados teológicos, filosóficos, médicos, astronómicos y otros, pero si inmensos diccionarios en verso sanscrito. Asi, desde este punto de vista, ellos usaron versos, sutras y códigos para aliviar la carga y facilitar el trabajo (por colocar en verso material científico e incluso matemático en una forma fácilmente asimilable)!" [8] El código usado es el siguiente:

Las consonantes sancritas

ka, ta, pa y ya denotan 1;

kha, tha, pha y ra representan 2;

ga, da, ba y la para 3;

gha, dha, bha y va representan 4

gna, na, ma y sa representan 5;

ca, ta y sa significan 6;

cha, tha y sa denotan 7;

ja, da y ha representan 8;

jha y dha significan 9; y

ka significa cero.

Las vocales no hacen diferencia y es dejado al autor seleccionar una consonante particular o vocal en cada paso. Esto lo lleva a uno a ocasionar significados adicionales de su propia escogencia. Por ejemplo kapa, papa y yapa significan 11. Para una escogencia particular de consonantes y vocales uno puede componer un himno poético con doble o triple significado. Aqui está un sutra actual de contenido espiritual, tambien como significado matemático secular.

gopi bhagya madhuvrata

srngiso dadhi sandhiga

khala jivita khatava

gala hala rasandara

Mientras este verso es un tipo de petisión a Krishna, cuando uno lo aprende tambien puede aprender el valor de pi/10 (es decir, el radio de la circumferencia de un círculo a su diametro dividido en 10) con 32 cifras decimales. Tiene una clave maestra de autocontenido para extender la evaluación a cualquier número de decimales.

La traducción es como sigue:

O señor ungido con el yogurt con que las partorcillas adoran (a krishna), o salvador del caido, o amo de Shiva, por favor protégeme.

Al mismo tiempo, por aplicación del código de consonantes dado arriba, este verso proporciona directamente el mequivalente de pi/10:

pi/10=0.31415926535897932384626433832792. Así, mientras se ofrece alabanza mántrica a Dios con devoción, por este mismo método uno puede tambien ayudar a la mamoria con verdades seculares significativas.

Esto es lo verdaderamente esencial de la visión del mundo védico considerando la cultura del conocimiento: mientras se culturiza del conocimiento trascendental, uno puede tambien llegar a entender lo intrincado del mundo fenoménico. Mediante el proceso de conocer la verdad absoluta, todas las verdades relativas tambien llegan a ser conocidas. En la sociedad moderna de hoy es a menudo sostenido que nunca el par se encontraran: ciencia y religión son extraños. Esta conclusión erronea esta basada en el pequeño entendimiento de cualquier disciplina. La ciencia es círculo mas pequeño dentro del gran círculo de la religión.

Nunca deberiamos perder la visión de nuestros alcances espirituales. Nunca deberiamos sucumbir a la falta de prudencia y cuidado en nuestros intentos de explotar el poder inherente a los principios matemáticos o cualquiera de las ciencias naturales para propósitos impios. Nuestra facultad de razonar es un bello regalo de Dios y se debe usar para propósitos divinos y no para los nuestros.

Sutras Védicos Matemáticos

Considere los siguientes tres Sutras:

1. "Todo desde 9 y el último desde 10," y su corolario: "cualquiera que sea la extensión de su deficiencia, atenuala mas alla de esa extención; y tambien llevala al cuadrado (de esa deficiencia)."

2. "Por uno mas que el anterior," y su colorario: "proporcionalidad."

3. "Verticalmente y atravesado," y su colorario: "El primero por el primero y el último por el último."

La primera es una fórmula muy enigmática y es mejor entendida con un ejemplo sencillo: multipliquemos 6 por 8.

1. Primero, se asigna como la base de nuestros cálculos la potencia de 10 mas cercana a los números que serán multiplicados. Para este ejemplo nuestra base es 10.

2. Escriba los dos números a ser multiplicados en un papel, uno encima del otro, y al lado de cada uno escriba la resta de la base 10 y éste número. los restos estan entonces conectados a los números originales con signos negativos, significando que ellos son menores que la base 10.

6-4

8-2

3. La respuesta del producto esta dada en dos partes. El primer dígito a la izquierda esta en múltiplos de 10 (es decir, el 4 de la respuesta 48). Aunque se puede llegar a la respuesta por 4 formas diferentes, solo una es presentada aqui. Reste la suma de los dos restos (4+2=6) de la base (10) y obtenga 10-6=4 para el dígito de la izquierda (que en múltiplos de la base 10 es 40).

6-4

8-2

4

4. Ahora multiplique los dos números restos 4 y 2 para obtener el producto 8. Este es el dígito de la derecha de la respuesta el cual, cuando es adicionado a la porsión izquierda 4 (multiplos de 10) produce 48.

6-4

8-2

----

4/8

Otro método usa sustracción trasversal. para el ejemplo en curso el 2 es sustraido de 6 (o 4 de 8) para obtener el primer dígito de la respuesta y los dígitos 2 y 4 son multiplicados para dar el segundo dígito de la respuesta. Este proceso ha sido atribuido por los historiadores, el responsable para la aceptación general de la marca X como el signo de la multiplicación. La explicación algebraica para el primer proceso es

(x-a)(x-b)=x(x-a-b)+ab

Donde x es la base 10, a es el resto 4 y b el resto 2 de tal manera que

6=(x-a)=(10-4)

8=(x-b)=(10-2)

El proceso equivalente de multiplicar 6 por 8 es entonces

x(x-a-b)+ab o

10(10-4-2)+2x4=40+8=48

Esos ejemplos sencillos pueden ser extendidos sin límites. Considere los siguientes casos donde 100 a sido escogido como base:

97-3

78-22

-------

75/66

93-7

92-8

------

85/56

25-75

98-2

-------

23/150=24/50

En el último ejemplo llevamos el 100 de 150 a la izquierda y 23 (significa 23 cientos) se convierte en 24 (cientos). De aqui las palabras del sutra "todo desde 9 y el último desde 10" son mostradas. La regla es que todos los dígitos de los números originales dados son sustraidos de 9, excepto para el último, el cual debería ser deducido de 10.

Considere el caso cuando el multiplicando y el multiplicador estan justo arriba de una potencia de 10. En este caso debemos sumar cruzado en vez de restar. La fórmula algebraica para el proceso es: (x+a)(x+b)=x(x+a+b)+ab . Adicionalmente, si un número esta arriba y el otro abajo de la potencia de 10, tenemos una combinación de sustracción y adición, es decir:

108+8

97-3

---------

105/-24=104/(100-24)=104/76

13+3

8-2

-------

11/-6=10/(10-6)=10/4

El sub-Sutra: "Proporcionalmente" estipula esos casos donde deseamos usar como nuestra base, múltiplos de base normal de potencias de 10. Esto es, cuando sea que ni el multiplicando ni el multiplicador sean suficientemente cercanos a la conveniente potencia de 10,la cual puede servir como nuestra base, simplemente usamos un múltiplo de una potencia de 10 como nuestra base de trabajo, llevando a cabo nuestros cálculos con esta base de trabajo y asi multiplicando o dividiendo el resultado proporcionalmente.

Para multiplicar 48 por 32, por ejemplo, usamos como nuestra base 50=100/2 y obtenemos

48-2

32-18

--------

2/ 30/36 o (30/2)/36=15/36

Note que únicamente los decimales de la izquierda correspondientes a las potencias de digitos de diez (aqui 100) estan siendo afectados por la división proporcional de 2. Esos ejemplos muestran como es mas fácil sustraer algunos números, (especialmente para cálculos mas complejos) en vez de memorizar tablas de multiplicar y llevar a cabo voluminosos cálculos de forma extensa.

Elevando números al cuadrado

El equivalente algebraico para el sutra de elevar al cuadrado es:

(a±b) 2 =a 2 ±2ab+b 2 . Para elevar al cuadrado 103 podriamos escribirlo como (100+3) 2 =10000+600+9=10609. Este cálculo puede ser fácilmente hecho mentalmente. Similarmente, para dividir 38982 por 73 podemos escribir el numerador como 38x 3 +9x 2 +8x+2, donde x=10, y el denominador es 7x+3. No toma mucho comprender que el numerador puede tambien ser escrito como 35x 3 +36x 2 +37x+12, por lo tanto

38982÷73=(35x 3 +36x 2 +37x+12)/(7x+3)=5x 2 +3x+4=534

Esto es simplemente el equivalente algebraico del actual método usado. El principío algebraico involucrado en el tercer sutra, "verticalmente y atravesado," puede ser expresado, en una de sus aplicaciones, como la multiplicación de los dos números representados por (ax+b) y (cx+d) , con la respuesta acx 2 +x(ad+bc)+bd . El cálculo diferencial tambien es utilizado en los sutras védicos para romper una ecuación cuadrática tan pronto la veas en dos ecuaciones simples de primer orden. Muchos sutras adicionales llevan a cabo métodos méntales secillos en una o dos líneas para la división, elevar al cuadrado números, determinar raices cuadradas y cúbicas, adiciones y sustracciones compuestas, integraciones, diferenciaciones, integración por fracciones parciales, factorización de ecuaciones cuadráticas, solucion de sistemas de ecuaciones y mucho mas. Para propósitos de mostrativos, hemos solo presentado ejemplos sencillos.

1 comentario:

  1. Mis respetos el estiduio que muestras aqui es sorprendente.

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